La geometría oculta de las banderas: un viaje matemático por el mundo a través de formas y colores

¿Qué nos cuenta una bandera? ¿Qué podemos expresar con un rectángulo, unos colores y ciertas figuras? Las banderas llevan con nosotros menos de mil años, la más antigua de la historia se encontró en Dinamarca. Pero vamos a disfrazarnos de científicos, no de opinólogos. Y hay dos tipos de análisis: cualitativo y cuantitativo. Las matemáticas suelen trabajar el mundo cuantitativo, para dar base y rigor a las posibles aplicaciones y evitar sesgos y errores. Pero a veces hay que clasificar y reducir una dimensión a un problema, y eso entra de lo cualitativo. Aquí hablamos de la utilidad que puede tener el estudio de banderas a nivel de proporciones y matemáticas y hasta cómo usar este tema en un aula de educación secundaria.

La RAE define “bandera” como “tela de forma comúnmente rectangular, que se asegura por uno de sus lados a un asta o a una driza y se emplea como enseña o señal de una nación, una ciudad o una institución”. A nivel cualitativo, una bandera habla de una historia, de una serie de personas unidas por un territorio y unas normas, incluso una ideología o una identidad. Por otro lado, una bandera distingue entre personas, establece fronteras, separa y se han usado desde su nacimiento como un arma arrojadiza o una excusa perfecta para invadir, colonizar o intentar adoctrinar a otro grupo. Esto podría tratarse de debates, libros, tesis lo que gustéis… pero entra dentro de un mundo cualitativo, opinable y que habla de contenidos. Yo soy matemático, y quiero traeros la historia de los continentes de las banderas. Es decir, ¿qué nos dice ese rectángulo? ¿Qué tipo de límites tiene a nivel geométrico?

Una cuestión de proporciones

Vamos a pensar en una bandera. Hasta la RAE nos dice que comúnmente es rectangular. La primera pregunta sería: ¿acaso hay banderas no rectangulares? Realmente, de las 250 banderas que existen en el mundo (aproximadamente, que hay países que corren que vuelan), solo una es no cuadrangular, es decir, solo uno no tiene cuatro ángulos y cuatro lados: la bandera de Nepal. Está compuesta por dos triángulos, que por un lado representa el Himalaya y, por otro, las dos principales religiones del país: hinduismo y budismo. De hecho, Nepal es también el único país cuya bandera tiene el alto más largo que el ancho.

Bandera oficial de Nepal.

El resto de las banderas son todas rectangulares. Bueno, hay dos de ellas que son cuadradas, pero un cuadrado es formalmente un tipo de rectángulo: el que tiene sus cuatro lados iguales. Esas dos banderas cuadradas son las de Suiza y la del Vaticano. Podríamos definir entonces una bandera por las proporciones de este rectángulo, si dividimos el ancho entre el alto, tendríamos una medida en las que empieza a definirse cada bandera. Por ejemplo, como Suiza y el Vaticano tienen banderas cuadradas tendrían la proporción 1:1, que diremos banderas tipo 1.

Proporciones podríamos tener infinitas distintas, iguales que números existen, pero como hay menos de 300 banderas, evidentemente habrá menos de 300 tipos de rectángulos en las banderas. Lo curioso es la cantidad de proporciones que se repiten, aunque hay de las más sencillas a las más rocambolescas. Hay tres tipos que son los más comunes: 1.5, 1.67 y 2. Las demás son unas hipsters de la vida. Véase.

Tipo 1.5

Esta proporción es la más habitual, sería la que tendríamos con 3 unidades de ancho y 2 de alto (3:2=1.5). En esa proporción están 108 banderas, de las 250. Algo menos de la mitad, podemos decir que es la moda de las banderas, un 43% de los países tienen este tipo. Entre esos países está España, pero también Austria, Camerún, Chile, China, Colombia, Francia, Grecia, Italia, Japón, Marruecos, Portugal, Ucrania, y una lista enorme. Es lo que más se estila entre nuestros vecinos, pero hay muchos tipos más, ojo. Esto ha sido una decisión, un número tan válido y bonito como cualquiera.

Tipo 2

Si tenemos un ancho que tiene el doble de longitud que el alto, tendríamos una bandera con un rectángulo que son como dos cuadrados pegados. Pues 82 países han elegido esta proporción, un 33%. Australia, Canadá, Cuba, Jamaica, Nigeria, Reino Unido (los países que lo componen y casi toda la Commonwealth), etc. decidieron esta proporción, casi casi la más ancha…

Tipo 1.67

Esta proporción responde a 5 unidades de ancho por 3 de alto. 18 países la tienen (un 7%), entre ellos Alemania, Bulgaria, Costa Rica o Nicaragua. Como se puede observar, esta elección no responde a un patrón geográfico.

Solo 1 de cada 6 países tienen una bandera de proporciones distintas a estos tres tipos. Algunas curiosidades:

Y aunque me gusta ser imparcial (lo máximo posible), os tengo que decir que hay un país cuya bandera es mi favorita por sus proporciones: Togo. Sí, es el único país que ha decidido una proporción puramente matemática. Sus proporciones no se rigen por la división de dos números, y su tipo tiene una letra griega. Togo es el único país con proporciones áureas, es decir, si divides ancho entre alto te da el número áureo, dorado o de Fibonacci: 1.618… La bandera fue diseñada por el artista Paul Ahyi y se aproxima a unos de los números más importantes de la historia, un número del que tendremos que hablar en otro artículo, pues está por todas partes, en el arte, en nuestro DNI, en la naturaleza y, como sabemos ahora, en la bandera de Togo.

Como detalle, esto de las proporciones requiere solo de dos números que sean primos entre sí, y si no encontráis las cifras, os recomiendo lo siguiente:

Cuando veáis una bandera, intentad pensar no solo en lo que simboliza, sino en lo que es, un rectángulo con sus proporciones, y lleno de simetrías, de las que tenemos que hablar… (próximamente).